LIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

W czworokącie wypukłym $ABCD$ zachodzą równości

$ \measuredangle ADB = 2 \measuredangle ACB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC. $

Udowodnić, że $AD = CD$ .

Rozwiązanie

Z danych w zadaniu równości kątów oraz z nierówności $\measuredangle ADC < 180^\circ$ wynika, że

$ \measuredangle ACB + \measuredangle BAC = \frac{1}{2} (\measuredangle ADB + \measuredangle BDC) = \frac{1}{2} \measuredangle ADC < 90^\circ. $

Kąty $ACB$ i $BAC$ są więc ostre, co oznacza, że środek $O$ okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leży wewnątrz kąta $ABC$ (rys. 1). Stąd w szczególności wynika, że punkty $O$ i $D$ leżą po tej samej stronie prostej $BC$ . Ponadto

$ \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC = \measuredangle BOC. $

Zatem punkty $B$ , $C$ , $O$ , $D$ leżą na jednym okręgu $o_1$ .

Analogicznie dowodzimy, że punkty $A$ , $B$ , $O$ , $D$ leżą na jednym okręgu $o_2$ . Okręgi $o_1$ i $o_2$ są różne - w przeciwnym razie okrąg opisany na trójkącie $ABC$ przechodziłby przez punkt $O$ , czyli swój środek. Okręgi $o_1$ i $o_2$ mają jednak trzy punkty wspólne: $B$ , $D$ i $O$ . Ponieważ $B \ne D$ , więc musi być $O = D$ , czyli $AD = CD$ .