LIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $p \leq q \leq r$ , że liczby

$ pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2} $

są pierwsze.

Rozwiązanie

Gdyby wszystkie trzy liczby pierwsze $p$ , $q$ , $r$ były większe od $2$ , to liczba $pq + r$ jako liczba parzysta większa od $2$ byłaby złożona. Zatem co najmniej jedna z liczb $p$ , $q$ , $r$ jest równa $2$ , co na mocy nierówności $p \leq q \leq r$ daje $p = 2$ .

Ponadto $q> 2$ , gdyż przy $q = 2$ mielibyśmy $qr + p = 2(r + 1)$ , co jest liczbą złożoną.

Gdyby obie liczby pierwsze $q$ , $r$ były większe od $3$ , to liczba $qr$ byłaby niepodzielna przez $3$ , a zatem jedna z liczb $qr+ 2$ , $qr+ 4$ byłaby podzielna przez $3$ i większa od $3$ , czyli złożona. Stąd wynika, że jedna z liczb $q$ , $r$ jest równa $3$ , co na mocy nierówności $2 < q \leq r$ daje $q = 3$ .

Pozostało wyznaczyć wszystkie takie liczby pierwsze $r \geq 3$ , aby liczby

$ (1) \qquad 6 + r,\ 6 + r^2,\ 3r + 2,\ 3r + 4,\ 2r + 3,\ 2r + 9 $

były pierwsze.

Gdyby liczba pierwsza $r$ była różna od $5$ , to przez $5$ dzieliłaby się jedna z liczb $r+ 1$ , $r+ 2$ , $r+ 3$ , $r+ 4$ , a co za tym idzie, również jedna z liczb