LIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

Trójkąt $ABC$ , w którym $\measuredangle A = 90^\circ$ , jest podstawą ostrosłupa $ABCD$ . Ponadto zachodzą równości

$<br /> AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD.<br />$

Udowodnić, że $\measuredangle ACD \geq 30^\circ$ .

Rozwiązanie

Trójkąt $BAC$ uzupełniamy do prostokąta $BACE$ . Wówczas z równości $AD = BD$ wynika, że $CD = ED$ . To w połączeniu z $AB = CD$ dowodzi, że trójkąt $CDE$ jest równoboczny. Zatem

$<br /> \measuredangle ACD \geq \measuredangle ACE - \measuredangle DCE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.<br />$