LIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}. $

Rozwiązanie

Dla $n = 1$ dana nierówność przybiera postać

$ x_{1}+y_{1}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}, $

co nie dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ jest prawdą - wystarczy przyjąć $x_1 = y_1 = 1$ .

Wykażemy, że nierówność (1) jest prawdziwa, jeśli $n \geq 2$ .

Jeśli któryś z czynników stojących po prawej stronie nierówności (1), np.

$ \sqrt{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}} $

jest równy $0$ , to obie liczby $x_k$ i $y_k$ muszą być zerami. Wtedy nierówność (1) jest spełniona.

Przyjmijmy więc, że liczba stojąca po prawej stronie nierówności (1) jest różna od $0$ , a zatem dodatnia. Wówczas dowodzoną nierówność możemy sprowadzić do postaci

$ (2)\qquad \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}} \cdot \ldots \cdot \frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}+ \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots\cdot \frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\leq 1. $

Podstawmy:

$ a_{k}=\frac{x_{k}^{2}}{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}},\ b_{k}=\frac{y_{k}^{2}}{x_{k}^{2}+y_{k}^{2}}\ (k=1,2,\ldots,n). $

Liczby $a_{1},a_{2}, \ldots, a_{n},$ $b_{1},b_{2}, \ldots, b_{n}$ należą do przedziału $\langle 0,1 \rangle$ oraz $a_k + b_k = 1$ . Stąd oraz z nierówności pomiędzy średnią geometryczną a średnią arytmetyczną uzyskujemy

$ \begin{split} \sqrt{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}+\sqrt{b_{1}b_{2} \ldots b_{n}}& \leq\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}+\sqrt[n]{b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}\leq\\ &\leq\frac{1}{n}(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n})+\frac{1}{n}(b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n})=1, \end{split} $

czyli

$ (3)\qquad \frac{|x_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots \cdot\frac{|x_{n}|}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}} + \frac{|y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot\ldots \cdot \frac{|y_{n}|}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\leq 1. $

Lewa strona nierówności (2) jest nie większa niż lewa strona nierówności (3). To oznacza, że udowodniona właśnie nierówność (3) pociąga za sobą nierówność (2), a tym samym dowodzi nierówności (1).