LIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ , że liczby $a^2 +1$ i $b^2 +1$ są pierwsze oraz

$ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 . $

Rozwiązanie

Bez szkody dla ogólności rozwiązania możemy założyć, że $a \leq b$ . Niech $p = b^2 +1$ . Wówczas liczba $(c^2 +1) - (b^2 + 1) = (c - b)(c + b)$ dzieli się przez $p$ . Z danej w treści zadania równości wynika, że $b < c$ . Ponadto

$ c=\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)-1}\leq\sqrt{(b^{2}+1)^{2}-1}<b^{2}+1=p. $

Stąd $c - b < p$ oraz $c + b < 2p$ . Skoro $p | (c - b)(c + b)$ , więc musi być $c + b = p$ , czyli

$ (1) \qquad c = b(b -1) + 1. $

Liczby $a = b = 1$ nie spełniają warunków zadania; możemy więc przyjąć, że $b > 1$ . Wówczas $p$ jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z zależności (1) wynika, że $c$ jest nieparzyste, a to dowodzi kolejno parzystości liczb $c^2 + 1$ oraz $a^2 + 1$ . Liczba $a^2 + 1$ jest pierwsza, a więc $a^2 + 1 = 2$ , skąd $a = 1$ . Zatem dane w zadaniu równanie przybiera postać

$ (2) \qquad 2(b^2 + 1) = c^2 + 1. $

Łącząc równości (1) i (2) uzyskujemy $2b^2 + 2 = b^2(b - 1)^2 + 2b(b - 1) + 2$ , czyli $2b = b(b - 1)^2 + 2b - 2$ . Stąd $b$ jest dzielnikiem liczby $2$ , a ponieważ $b> 1$ , więc musi być $b = 2$ . To pociąga za sobą $c = 3$ .