LIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

III

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ACPQ$ i $BKLC$ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $PL$ , punkt $C$ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $O$ środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ (rys. 1). Uzupełnijmy trójkąt $PCL$ do równoległoboku $PCLX$ . Wystarczy udowodnić, że punkty $X$ , $C$ , $O$ są współliniowe.

Z równości pól danych prostokątów otrzymujemy

$<br /> \frac{XL}{LC} =\frac{PC}{LC} =\frac{BC}{CA}.<br />$

Ponadto $\measuredangle XLC = 180^\circ - \measuredangle PCL = \measuredangle BCA$ . Uzyskane zależności dowodzą, że trójkąty $XLC$ oraz $BCA$ są podobne. Stąd oraz z równości $BO = CO$ wynika kolejno, że

$<br /> \measuredangle XCL = \measuredangle BAC = \frac{1}{2} \measuredangle BOC = 90^\circ - \measuredangle BCO,<br />$

czyli $\measuredangle XCL + \measuredangle LCB + \measuredangle BCO = 180^\circ$ . Ostatnia równość oznacza, że punkty $X$ , $C$ , $O$ leżą na jednej prostej.