LIII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

III

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

$ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2} $

(przyjmujemy $x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2}$ oraz $x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1}$ ).

Rozwiązanie

Gdyby żadna z podanych nierówności nie zachodziła, to po dodaniu stronami mielibyśmy $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}<n$ . Wystarczy zatem udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}\geq n,\ \textrm{albo, że},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}\geq 2n. $