LIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

III

W przestrzeni dany jest trójkąt $ABC$ oraz sfera $s$ rozłączna z płaszczyzną $ABC$ . Przez każdy z punktów $A$ , $B$ , $C$ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ . Punkt $P$ leży na sferze $s$ i spełnia warunki

$<br /> \frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.<br />$

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ABCP$ jest styczna do sfery $s$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\lambda$ wspólną wartość danych w treści zadania ułamków. Niech $A'$ , $B'$ , $C'$ będą odpowiednio drugimi punktami przecięcia prostych $PA$ , $PB$ , $PC$ ze sferą $s$ (rys. 2 i 3). Jeśli któraś z tych prostych, powiedzmy $PA$ , jest styczna do sfery $s$ , to przyjmujemy $A' = P$ . Wówczas $AK^2 = AP\cdot AA'$ , a więc

$<br /> (1)\qquad \frac{AA'}{AP}=\left(\frac{AK}{AP}\right)^{2}=\lambda^{2}.\ \textrm{Zatem} \ \frac{AA'}{AP}=\frac{BB'}{BP}=\frac{CC'}{CP}=\lambda^{2}.<br />$

Stąd wynika, że jednokładność $j$ o środku $P$ przekształcająca punkt $A$ na $A'$ , przeprowadza punkt $B$ na $B'$ oraz punkt $C$ na $C'$ . Ponadto każdy z punktów $A'$ , $B'$ , $C'$ jest różny od $P$ - w przeciwnym razie równości (1) implikują, że proste $PA$ , $PB$ , $PC$ są styczne do sfery $s$ w punkcie $P$ , a więc $P$ jest punktem wspólnym płaszczyzny $ABC$ i sfery $s$ , co przeczy założeniom.

Sfera opisana na czworościanie $ABCP$ jest zatem obrazem sfery $s$ przy jednokładności $j^{-1}$ , której środek (punkt $P$ ) leży na sferze $s$ . Stąd teza.