Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
![\[<br />
x^{2000} + 2000^{1999} = x^{1999} + 2000^{2000}.<br />
\]](/files/tex/cab3573b1024f7eed07a3b0e124f01ae0e48ed01.png) |
Dane równanie sprowadzamy do postaci 
, gdzie
![\[<br />
f (x)=x^{2000} - x^{1999} = (x - 1)x^{1999}.<br />
\]](/files/tex/cc3507bec0f0599aa53e8746c4ff8cd5e85adf20.png) |
Ponieważ 
jest funkcją rosnącą na przedziale 
, więc dane równanie ma w tym przedziale tylko jedno rozwiązanie, którym jest 
. Na zbiorze 
funkcja jest malejąca, więc istnieje co najwyżej jedna liczba całkowita ujemna 
, dla której 
. Jednakże
![\[<br />
f (-1999) = 2000 \cdot 1999^{1999} < 1999 \cdot 2000^{1999} = f (2000) = f (a)<br />
\]](/files/tex/dd85ec774f1cff63981390428c8bc9a904c157ec.png) |
oraz
![\[<br />
f (-2000) = 2001 \cdot 2000^{1999} > 1999 \cdot 2000^{1999} = f (2000) = f (a).<br />
\]](/files/tex/30122ffc9353fc44dcb4f81a18bffb8c0e097437.png) |
Zatem 
, co przeczy temu, że jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź: Dane równanie ma jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych: .