Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

I

Punkty $D$ i $E$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $AC$ trójkąta $ABC$ . Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $AC$ , przy czym czworokąt $CLPK$ jest równoległobokiem. Dowieść, że

$<br /> \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br />$

Rozwiązanie

Ponieważ $KD \parallel LP$ , $DP \parallel PA$ oraz $PK \parallel AL$ , więc trójkąty $KDP$ i $LPA$ są podobne (rys. 1). Zatem

$<br /> \frac{DK}{PL}=\frac{PK}{AL},\ \textrm{czyli}\ AL\cdot DK=PK \cdot PL.<br />$

Analogicznie, korzystając z podobieństwa trójkątów $LEP$ i $KPB$ dowodzimy, że $BK \cdot EL = PL \cdot PK$ . Na mocy dwóch ostatnich równości otrzymujemy

$<br /> AL\cdot DK=BK \cdot EL,\ \textrm{czyli}\ \frac{AL}{EL}=\frac{BK}{DK}.<br />$

Stąd

$<br /> \frac{AE+EL}{EL}=\frac{BD+DK}{DK},\ \text{a więc}\ \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/346