LII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $n \geq 2$ , że nierówność

$ (1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}) $

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ .

Rozwiązanie

Odpowiedź: Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest $n = 2$ .

Dla $n = 2$ dana nierówność przyjmuje postać

$ x_{1}x_{2}\leq\frac{1}{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}),\quad \textrm{co sprowadza się do}\quad 0\leq\frac{1}{2}(x_{1}-x_{2})^{2}. $

Zatem liczba $n = 2$ spełnia warunki zadania.

Jeśli $n \geq 3$ , to nierówność (1) nie jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich. Liczby

$ (2) \qquad x_1 = 3,\ x_2 = x_3 = \ldots = x_{n-1} = 4,\ x_n = 3 $

stanowią kontrprzykład. Istotnie: wstawiając powyższe wartości do nierówności (1) uzyskujemy

$ 12+\underbrace{16+16+\ldots+16}_{n-3} +12\leq \frac{n-1}{n}(9+ \underbrace{16+16+\ldots+16}_{n-2} +9). $

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność otrzymujemy $3n \leq 7$ , co nie jest prawdą, gdy $n \geq 3$ .