LII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Rozstrzygnąć, czy w sześciennym pudełku o krawędzi 4 można umieścić 65 kul o średnicy 1.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Można.

Sposób umieszczenia kul jest następujący.

Na dnie pudełka umieszczamy warstwę złożoną z 16 kul. Następnie kładziemy warstwę złożoną z 9 kul, z których każda jest styczna do czterech kul pierwszej warstwy (rys. 1 i 2). Trzecia warstwa składa się z $16$ kul stycznych do kul drugiej warstwy (rys. 4 i 5). Podobnie umieszczamy dwie następne warstwy (rys. 6).

Łącznie umieściliśmy więc $16 + 9 +16+ 9 + 16 = 66$ kul. Pozostaje obliczyć, jak wysoko sięga piąta warstwa.

Wybierzmy dowolną kulę drugiej warstwy; kula ta jest styczna do czterech kul pierwszej warstwy. Środki tych pięciu kul są wierzchołkami ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego każda krawędź ma długość 1 (rys. 3). Na mocy twierdzenia Pitagorasa wysokość tego ostrosłupa wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Stąd wynika, że najwyższy punkt, do którego sięga piąta warstwa, jest odległy od płaszczyzny podstawy o $\frac{1}{2}+4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=1+2\sqrt{2}<4$ . Umieszczone w ten sposób 66 kul mieści się w sześciennym pudełku o krawędzi 4.