LII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 2$ i dowolnej liczby pierwszej $p$ liczba $n^{p^p} + p^p$ jest złożona.

Rozwiązanie

Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą nieparzystą, to na mocy tożsamości

$<br /> (1) \qquad x^{p}+y^{p}=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^{2}-\ldots-xy^{p-2}+y^{p-1}),<br />$

w której kładziemy $x = n^{p^{p-1}}$ i $y = p$ , liczba $n^{p^p} + p^p$ jest złożona. (Dla powyższych wartości $x$ , $y$ zachodzą nierówności $x^p + y^p >x + y> 1$ , więc każdy z czynników stojących po prawej stronie wzoru (1) jest większy od 1).

Natomiast dla $p = 2$ otrzymujemy $n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$ . Ponieważ $n \geq 2$ , więc oba czynniki są większe od $1$ . Stąd wynika, że dla $n \geq 2$ liczba $n^4 + 4$ jest złożona.