LII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Liczby całkowite $a$ , $b$ , $x$ , $y$ spełniają równanie

$ a+b\sqrt{2001}=(x+y\sqrt{2001})^{2000} $

Udowodnić, że $a \geq 44b$ .

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że zachodzi następująca równość:

$ (1) \qquad a-b\sqrt{2001}=(x-y\sqrt{2001})^{2000}. $

Istotnie: ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy

$ (x+y\sqrt{2001})^{2000}=\sum_{k=0}^{2000}{{2000} \choose k} y^{k}2001^{k/2}x^{2000-k}=c+d\sqrt{2001}, $

gdzie liczby całkowite c, d są dane przez:

$ (2)\qquad c= \sum_{\ell=0}^{1000} {{2000} \choose {2\ell}} y^{2\ell}2001^{\ell}x^{2000-2\ell},\ d = \sum_{\ell=0}^{999} {{2000} \choose {2\ell+1}} y^{2\ell+1}2001^{\ell}x^{1999-2\ell}. $

Korzystając z danej w treści zadania równości uzyskujemy

$ (a-c)+(b-d)\sqrt{2001}=0. $

Z niewymierności liczby $\sqrt{2001}$ wynika, że $b = d$ , co z kolei pociąga za sobą $a = c$ . Zatem na mocy związków (2) otrzymujemy

$ \begin{split} a-b\sqrt{2001}&=c-d\sqrt{2001}=\\ &=\sum_{k=0}^{2000}{{2000} \choose k} (-y)^{k}2001^{k/2}x^{2000-k}=(x-y\sqrt{2001})^{2000}, \end{split} $