LII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Rozstrzygnąć, dla jakich par liczb naturalnych $m$ i $n$ prostokąt o bokach długości $m$ i $n$ można pociąć na części przystające do figury na rysunku. Każdy z czterech kwadratów na rysunku ma bok długości $1$ .

Rozwiązanie

Odpowiedź: Żądany podział jest możliwy wtedy i tylko wtedy, gdy $m,n > 1$ oraz iloczyn $mn$ jest podzielny przez $8$ .

Załóżmy najpierw, że udało nam się pociąć prostokąt $m \times n$ na części przystające do danej figury (które w dalszej części rozwiązania będziemy nazywać klockami). Oczywiście $m,n> 1$ . Wykażemy, że $8|mn$ .

Każdy klocek składa się z czterech kwadratów jednostkowych, zatem iloczyn $mn$ (pole prostokąta) musi być liczbą podzielną przez $4$ . Stąd w szczególności wynika, że długość jednego z boków prostokąta $m\times n$ jest liczbą parzystą. Przyjmijmy więc, bez straty ogólności, że szerokość prostokąta, np. wielkość $m$ , jest parzysta.

Podzielmy dany prostokąt na $mn$ kwadratów jednostkowych (które będziemy dalej nazywać kratkami). Wówczas prostokąt składa się z $m$ (a więc parzystej liczby) kolumn, z których każda zawiera $n$ kratek (rys. 1).

Pomalujmy kolumny prostokąta na przemian na czarno i biało (rys. 2). Każdy klocek wycięty z tak pomalowanego prostokąta zawiera trzy kratki jednego koloru i jedną kratkę drugiego koloru. Ponieważ liczba kratek białych danego prostokąta jest równa liczbie kratek czarnych, więc klocków zawierających trzy kratki białe musi być tyle samo, co klocków zawierających trzy kratki czarne. Liczba klocków, na które składa się cały prostokąt, jest więc parzysta, co oznacza, że iloczyn $mn$ jest podzielny przez $8$ .

Załóżmy teraz, że $m,n> 1$ oraz $8| mn$ . Wykażemy, że prostokąt $m \times n$ da się pociąć na klocki.

Zauważmy, że prostokąty $4\times 2$ oraz $8\times 3$ da się pociąć na klocki (rys. 3, 4). Zatem wystarczy wykazać, że prostokąt $m\times n$ da się pociąć na prostokąty $4\times 2$ oraz $8 \times 3$ .

Jeśli jedna z liczb $m$ , $n$ jest podzielna przez $4$ , a druga parzysta, to prostokąt $m \times n$ da się pociąć na prostokąty $4\times 2$ (rys. 5), bez konieczności używania prostokątów $8\times 3$ .

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, w którym jedna z liczb $m$ , $n$ jest podzielna przez $8$ (bez straty ogólności przyjmijmy, że jest nią $m$ ), zaś druga (czyli $n$ ) jest nieparzysta i nie mniejsza niż $3$ . Prostokąt $m \times n$ dzielimy wówczas na dwa prostokąty $m \times (n-3)$ i $m \times 3$ , z których pierwszy dzielimy na prostokąty $4 \times 2$ , a drugi na prostokąty $8 \times 3$ (rys. 6). Zatem również i w tym przypadku żądany podział jest możliwy.