LII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Dowieść, że wśród dowolnych $12$ kolejnych liczb całkowitych dodatnich istnieje liczba nie będąca sumą $10$ czwartych potęg liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Liczba będąca czwartą potęgą liczby całkowitej daje z dzielenia przez $16$ resztę $0$ lub $1$ . Istotnie: dla liczb parzystych postaci $2k$ mamy $(2k)^4 = 16k^4$ , natomiast dla liczb nieparzystych 2k + 1 uzyskujemy

$<br /> (2k+1)^{4}=16\left(k^{4}+2k^{3}+\frac{1}{2}k(3k+1)\right)+1.<br />$

(Liczba $\frac{1}{2} k(3k+1)$ jest całkowita dla dowolnej liczby całkowitej $k$ ).

Stąd wynika, że liczba, która jest sumą $10$ czwartych potęg liczb całkowitych, daje z dzielenia przez $16$ jedną z jedenastu reszt: $0,1,2,3,\ldots, 10$ . Wśród $12$ kolejnych liczb całkowitych żadne dwie nie dają tej samej reszty z dzielenia przez $16$ . Zatem któraś z tych $12$ liczb nie daje z dzielenia przez $16$ reszty ze zbioru $\{0,1,2,3,\ldots,10\}$ . Ta liczba nie może być więc sumą $10$ czwartych potęg liczb całkowitych.