LII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Dowieść, że wewnątrz dowolnego trójkąta $ABC$ istnieje punkt $P$ o następującej własności:

Każda prosta przechodząca przez punkt $P$ dzieli obwód trójkąta $ABC$ w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.

Rozwiązanie

Wykażemy, że własność opisaną w treści zadania ma środek okręgu wpisanego.

Niech $\ell$ będzie dowolną prostą przechodzącą przez punkt $P$ będący środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ (rys. 1). Bez straty ogólności przyjmijmy, że prosta $\ell$ przecina boki $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Należy wykazać, że

$ (1) \qquad \frac{[ABED]}{[DEC]} =\frac{DA + AB + BE}{EC + CD}, $

gdzie $[\mathcal{F}]$ jest polem figury $\mathcal{F}$ . Oznaczając przez $r$ promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ otrzymujemy

$ \begin{split} (2)\qquad [ABED]&=[DAP]+[ABP]+[BEP]= \frac{1}{2}DA\cdot r+\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BE \cdot r=\\ &=\frac{1}{2}(DA+AB+BE)\cdot r \end{split} $

oraz

$ (3)\qquad [DEC]=[ECP]+[CDP]=\frac{1}{2}EC\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r=\frac{1}{2}(EC+CD)\cdot r. $

Dzieląc stronami równości (2) i (3) uzyskujemy równość (1).