LII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Dane są liczby naturalne $k$ , $n$ większe od $1$ , przy czym liczba $p = 2k-1$ jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

$<br /> {n \choose 2} - {k \choose 2}<br />$

jest podzielna przez $p$ , to jest ona podzielna przez $p^2$ .

Rozwiązanie

Liczba $p$ jest dzielnikiem liczby

$<br /> a=\frac{n(n-1)}{2}-\frac{k(k-1)}{2}=\frac{(4n^{2}-4n+1)-(4k^{2}-4k+1)}{8}=\frac{(2n-1)^{2}-p^{2}}{8}.<br />$

Zatem $p$ , jako liczba nieparzysta, jest dzielnikiem liczby $(2n - 1)^2 - p^2$ . Liczba $p$ jest pierwsza, skąd $p | (2n-1)$ . Z podzielności tej wynika, że $p^2 | (2n - 1)^2$ , czyli $p^2 | a$ .