Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

II

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym $AB < BC$ . Punkty $D$ , $E$ są wierzchołkami kwadratu $ABDE$ . Okrąg o średnicy $AC$ przecina prostą $DE$ w punktach $P$ i $Q$ , przy czym punkt $P$ należy do odcinka $DE$ . Proste $AQ$ i $BD$ przecinają się w punkcie $R$ . Udowodnić, że $DP = DR$ .

Rozwiązanie

Kąt $APC$ jest prosty jako kąt wpisany oparty na średnicy (rys. 1). Stąd

$<br /> \measuredangle EAP = 90^\circ - \measuredangle PAC = \measuredangle ACP.<br />$

Z kolei z równości łuków $AP$ i $CQ$ wynika równość kątów $ACP$ i $CAQ$ , skąd

$<br /> \measuredangle EAP = \measuredangle BAR.<br />$

Trójkąty $PAE$ i $RBA$ są więc przystające (cecha kąt-bok-kąt), co dowodzi, że $EP = BR$ . Stąd $DP = DR$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/358