LII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Niech $n \geq 3$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

$<br /> x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0},<br />$

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $a_0,a_1,\ldots, a_{n-3}$ jest różny od zera, ma mniej niż $n$ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dany w treści zadania wielomian ma $n$ pierwiastków rzeczywistych $x_1,x_2,\ldots,x_n$ . Ze wzorów Viete'a wynika, że

$<br /> x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=-a_{n-1}=0\ \textrm{oraz}\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=a_{n-2}=0.<br />$

Zatem $x_1^2 + x_2^2 +\ldots + x_n^2 =a_{n-1}^2 - 2a_{n-2} = 0$ , skąd $x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0$ . Jednak powyższa równość pociąga za sobą $a_0 = a_1 = \ldots = a_{n-3} =0$ , co przeczy założeniu.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że dany wielomian stopnia n nie może mieć $n$ pierwiastków rzeczywistych, zatem musi ich mieć mniej niż $n$ .