LII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n \geq 3$ , dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $n$ -wyrazowym ciągu arytmetycznym $a_1, a_2,\ldots,a_n$ , dla którego liczba $1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n$ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Rozpatrywane zdanie jest prawdziwe jedynie dla liczb $n \geq 3$ dających z dzielenia przez $3$ resztę $1$ .

Niech $a_i = a + ir$ ( $i = 1,2,\ldots,n$ ) będzie ciągiem arytmetycznym. Korzystając ze wzorów

$ 1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2} \ \text{oraz}\ 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $

stwierdzamy, że dana w treści zadania suma jest równa

$ S=\frac{n(n+1)}{2}a+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}r. $

Stąd uzyskujemy

$ (1)\qquad \frac{2S}{n(n+1)}=a+\frac{2n+1}{3}r. $

Załóżmy najpierw, że liczba $n$ daje z dzielenia przez $3$ resztę $1$ . Wówczas liczba $k = \frac{1}{3}(2n +1)$ jest całkowita. Z równości (1) oraz z faktu, że $S$ jest liczbą wymierną wynika, że wyraz $a_k$ jest liczbą wymierną. Zatem rozpatrywane zdanie jest w tym przypadku prawdziwe.

Załóżmy z kolei, że liczba $n$ nie daje z dzielenia przez $3$ reszty $1$ (innymi słowy, liczba $\frac{1}{3} (2n + 1)$ nie jest całkowita). Skonstruujemy ciąg arytmetyczny $a_i$ , dla którego rozpatrywane zdanie nie jest prawdziwe. Przyjmijmy: