LII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Prosta $AI$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że $AI + CD = AC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C$ .

Rozwiązanie

Niech $E$ będzie takim punktem leżącym na boku $AC$ , że $AI = AE$ (rys. 1). Wówczas

$ \begin{split} AI + CD = AC & \Leftrightarrow CE = CD\\ &\Leftrightarrow \textrm{trójkąty}\ CDI\ \textrm{i}\ CEI\ \textrm{są przystające}\\ &\Leftrightarrow \measuredangle AEI = \measuredangle ADB\\ &\Leftrightarrow \textrm{trójkąty}\ AIE\ \textrm{i}\ ABD\ \textrm{są podobne}\\ &\Leftrightarrow \measuredangle B = \measuredangle ADB\\ &\Leftrightarrow \measuredangle B = \frac{1}{2}\measuredangle A + \measuredangle C\\ &\Leftrightarrow \measuredangle B = 60^\circ +\frac{1}{3} \measuredangle C. \end{split} $