LII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

III

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ i dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq{n \choose 2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i}. $

Rozwiązanie

Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną zastosowanej do liczb

$ y_{1}=x_{i}^{i},\ y_{2}=y_{3}=\ldots=y_{i}=1\ (2\leq i\leq n) $

otrzymujemy

$ x_{i}=\sqrt[i]{y_{1}y_{2}y_{3}\ldots y_{i}}\leq\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots+y_{i}}{i}=\frac{x_{i}^{i}+(i-1)}{i}. $

Zatem

$ \sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq\sum_{i=1}^{n}(i-1)+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i},\ \textrm{czyli}\ \sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq{n \choose 2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i}. $