LII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

III

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $1$ od jego wierzchołków jest nie większa niż $3$ .

Rozwiązanie

Niech $A_1 A_2 A_3 A_4$ będzie danym czworościanem, a $P$ dowolnym punktem w jego wnętrzu. Załóżmy, że prosta $A_i P$ przecina przeciwległą ścianę czworościanu $A_1 A_2 A_3 A_4$ w punkcie $B_i$ . Niech $\mathcal{C}_i$ będzie czworościanem, którego jedną ścianą jest ta ściana czworościanu $A_1 A_2A_3A_4$ , która zawiera punkt $B_i$ , zaś przeciwległym wierzchołkiem punkt $P$ . Wtedy

$<br /> \sum_{i=1}^{4}\frac{PB_{i}}{A_{i}B_{i}}=\sum_{i=1}^{4}\frac{V(\mathcal{C}_{i})}{V(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})}=1,<br /> \quad \textrm{stąd} \quad \sum_{i=1}^{4}\frac{A_{i}P}{A_{i}B_{i}}=3.<br />$

( $V(\mathcal{T})$ oznacza objętość czworościanu $\mathcal{T}$ .) Z nierówności $A_iB_i < 1$ oraz z powyższej zależności wynika teza.