Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

III

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n$ liczba $2^na + b$ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $a = 0$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $b = 0$ , to $a = 0$ , gdyż dla $a \ne 0$ liczby $a$ i $2a$ nie mogą być jednocześnie kwadratami liczb całkowitych.

Gdyby liczba $a$ była ujemna, to dla pewnej, dużej liczby naturalnej $n$ , liczba $2^n a + b$ też byłaby ujemna, nie mogłaby więc być kwadratem liczby całkowitej.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $a \geq 0$ oraz $b \neq 0$ .

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $k$ , liczby

$<br /> 2^{2k} a + b \ \textrm{oraz}\ 4(2^{2k-2} a + b) = 2^{2k} a + 4b<br />$

są kwadratami różnych liczb całkowitych nieujemnych, powiedzmy

$<br /> 2^{2k}a+b=x_{k}^{2}\ \textrm{oraz}\ 2^{2k}a+4b=y_{k}^{2}.<br />$

Wówczas $x_{k}+y_{k}\leq(x_{k}+y_{k})|x_{k}-y_{k}|=|x_{k}^{2}-y_{k}^{2}|=|3b|$ , skąd

$<br /> 2^{2k}a+b=x_{k}^{2}\leq(x_{k}+y_{k})^{2}\leq 9b^{2}\ \textrm{dla każdego $k$.}<br />$

Zatem ciąg $(x_k)$ jest ograniczony, co jest możliwe tylko wtedy, gdy $a = 0$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/366