Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LII OM, 2000-2001

Etap:

III

Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ , przy czym $BK \cdot AD = DL \cdot AB$ . Odcinki $DK$ i $BL$ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $\measuredangle DAP = \measuredangle BAC$ .

Rozwiązanie

Niech $Y$ będzie punktem przecięcia prostych $AP$ i $CD$ oraz niech $X$ będzie punktem przecięcia prostych $DK$ i $AB$ (rys. $1$ i $2$ ). Wówczas

$<br /> \frac{DL}{DY}=\frac{BX}{AX}=\frac{BK}{AD}.<br />$

Stąd oraz z równości danej w treści zadania otrzymujemy:

$<br /> \frac{DY}{AD}=\frac{DL}{BK}=\frac{AD}{AB}=\frac{BC}{AB}.<br />$

To dowodzi, że trójkąty $ABC$ i $ADY$ są podobne, skąd wynika teza.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/367