LI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Dana jest liczba naturalna $n \geq 3$ . Udowodnić, ze suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $n$ , względnie pierwszych z $n$ , dzieli się przez $n$ .

Rozwiązanie

Każda liczba naturalna mniejsza od $n$ i względnie pierwsza z $n$ jest równa $k$ lub $n-k$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną mniejszą od $n/2$ i względnie pierwszą z $n$ . Zatem dana w zadaniu suma sześcianów jest równa

$<br /> \sum_{{1\leq k<n/2} \atop {(k,n)=1}} k^3+(n-k)^3<br /> = \sum_{{1\leq k<n/2}\atop {(k,n)=1}}n^{3}-3kn^{2}+3k^{2}n=n\cdot\sum_{{1\leq k<n/2} \atop {(k,n)=1}}n^{2}-3kn+3k^{2},<br />$

a więc jest podzielna przez $n$ .