LI OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ spełniony jest warunek

$ \measuredangle ACB=2 \measuredangle ABC. $

Punkt $D$ leży na boku $BC$ , przy czym $\measuredangle BAD =\frac{1}{2} \measuredangle ABC$ . Dowieść, że

$ (1)\qquad\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}. $

Rozwiązanie

Wykażemy, że równość (1) jest prawdziwa dla dowolnego trójkąta ABC, niekoniecznie ostrokątnego.

Niech $E$ będzie takim punktem półprostej $BC^\to$ , że $AD$ jest dwusieczną kąta $BAE$ (rys. 1 i 2).

Wówczas $\measuredangle EBA =\measuredangle EAB$ . Jeżeli punkt $E$ leży na boku $BC$ (rys. 1), to

$ \measuredangle AEC= 2\measuredangle ABC = \measuredangle ACE. $

Jeśli natomiast punkt $E$ nie leży na boku $BC$ (rys. 2), to

$ \measuredangle AEC= 180^\circ - 2\measuredangle ABE = 180^\circ - \measuredangle ACB = \measuredangle ACE. $

Zatem w obu przypadkach $BE = AE = AC$ . Na mocy twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy

$ \frac{BD}{AB} + \frac{BD}{AC} = \frac{DE}{AE} + \frac{BD}{AE}=\frac{BE}{AE}=1, $

co należało udowodnić.