LI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Suma liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ równa jest $1$ . Udowodnić, że

$ a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq 1 . $

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność

$ a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc(a + b + c)} \leq (a + b + c)^2. $

Przekształcając równoważnie powyższą zależność otrzymujemy

$ \sqrt{3abc(a+b+c)} \leq ab + bc + ca. $

Wykonując podstawienie $x = bc$ , $y = ca$ , $z = ab$ , sprowadzamy dowodzoną nierówność do postaci

$ \sqrt{3(xy+yz + zx)} = x+y + z. $

Podnosząc do kwadratu obie strony ostatniej nierówności i przekształcając równoważnie otrzymujemy

$ xy+yz + xz=x^2 + y^2 + z^2 \ \textrm{lub}\ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\geq 0, $

co jest prawdą.