LI OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Każdy punkt okręgu jest pomalowany jednym z trzech kolorów. Dowieść, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

Rozwiązanie

Niech $A_1,A_2,\ldots ,A_{13}$ będą wierzchołkami dowolnego $13$ -kąta foremnego wpisanego w dany okrąg. Wykażemy, że wśród dowolnych pięciu wierzchołków tego $13$ -kąta znajdą się trzy będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Ponieważ wśród dowolnych trzynastu punktów danego okręgu zawsze znajdzie się pięć pomalowanych tym samym kolorem, zadanie zostanie rozwiązane.

Przypuśćmy więc, że udało się tak wybrać pięć wierzchołków spośród $A_1,A_2,\ldots ,A_{13}$ , że żadne trzy spośród wybranych punktów nie tworzą trójkąta równoramiennego.

Załóżmy najpierw, że wśród wybranych punktów nie ma dwóch sąsiednich wierzchołków $13$ -kąta $A_1 A_2 \ldots A_{13}$ . Wówczas wśród wybranych punktów znajdziemy dwa oddzielone dokładnie jednym wierzchołkiem, który nie został wybrany. Bez szkody dla ogólności rozumowania, możemy przyjąć, że są to $A_1$ i $A_3$ . Ponieważ żadne trzy wybrane wierzchołki nie tworzą trójkąta równoramiennego, więc nie został wybrany żaden z punktów: $A_{12}$ , $A_{13}$ , $A_2$ , $A_4$ , $A_5$ (rys. 1).

Ponieważ trójkąt $A_1A_6A_{11}$ jest równoramienny, więc co najmniej jeden z wierzchołków $A_6$ , $A_{11}$ nie został wybrany. Bez straty ogólności rozumowania możemy przyjąć, że tym wierzchołkiem jest $A_6$ . Zatem spośród pięciu punktów $A_7$ , $A_8$ , $A_9$ , $A_{10}$ , $A_{11}$ dokładnie trzy zostały wybrane, przy czym żadne dwa z nich nie są kolejnymi wierzchołkami $13$ -kąta $A_1A_2\ldots A_{13}$ . Musiały więc zostać wybrane punkty $A_7$ , $A_9$ , $A_{11}$ . To jednak nie jest możliwe, gdyż punkty te tworzą trójkąt równoramienny (rys. 2). Otrzymaliśmy sprzeczność.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, w którym wśród wybranych wierzchołków znajdują się dwa sąsiednie, powiedzmy $A_1$ i $A_2$ . Oznacza to, że nie został wybrany żaden z wierzchołków: $A_{13}$ , $A_3$ , $A_8$ (rys. 3).

Ponieważ trójkąty $A_2A_4A_6$ , $A_1A_6A_{11}$ , $A_{11} A_1 A_4$ są równoramienne, więc został wybrany co najwyżej jeden z punktów: $A_4$ , $A_6$ , $A_{11}$ . Analogicznie stwierdzamy, że został wybrany co najwyżej jeden z punktów: $A_5$ , $A_{10}$ , $A_{12}$ . Zatem wybrany być musiał co najmniej jeden z punktów $A_7$ , $A_9$ . Bez straty ogólności przyjmijmy, że został wybrany punkt $A_7$ (rys. 4). Równoramienność trójkątów: $A_1A_4A_7$ , $A_2A_{10}A_7$ , $A_2A_{11}A_7$ oraz $A_2A_{12}A_7$ dowodzi, że nie wybrano punktów: $A_4$ , $A_{10}$ , $A_{11}$ oraz $A_{12}$ .

Zatem wśród wybranych pięciu punktów muszą być dwa spośród $A_5$ , $A_6$ , $A_9$ . Z uwagi na równoramienność trójkąta $A_5A_6A_7$ wybrany mógł być tylko jeden z punktów $A_5$ , $A_6$ . Zatem wybranym punktem jest $A_9$ (rys. 5). To z kolei oznacza, że nie został wybrany punkt $A_5$ , gdyż trójkąt $A_5A_7A_9$ jest równoramienny.

Tak więc piątym z wybranych punktów musi być $A_6$ , co daje sprzeczność, gdyż trójkąt $A_9A_1A_6$ jest równoramienny (rys. 6).

Tym samym wykazaliśmy, że wybór pięciu wierzchołków $13$ -kąta, z których żadne trzy nie wyznaczają trójkąta równoramiennego, nie jest możliwy, co kończy rozwiązanie zadania.