LI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Wyznaczyć wszystkie pary $(a,b)$ liczb naturalnych, dla których liczby $a^3 + 6ab + 1$ i $b^3 + 6ab + 1$ są sześcianami liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Niech $a$ i $b$ będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Bez szkody dla ogólności rozumowania możemy założyć, że $a \leq b$ . Wówczas

$ b^3 < b^3 + 6ab+ 1 \leq b^3 + 6b^2 + 1< b^3 + 6b^2 + 12b + 8 = (b + 2)^3 . $

Skoro liczba $b^3+6ab + 1$ jest sześcianem liczby całkowitej, to musi zachodzić równość

$ (1)\qquad b^3+ 6ab +1 = (b+1)^3. $

Przekształcając równoważnie powyższy związek otrzymujemy po kolei

$ (2)\qquad \begin{split} b^{3}+6ab+1&=b^{3}+3b^{2}+3b+1\\ 2ab&=b(b+1)\\ b&=2a-1 \end{split} $

Pozostaje rozstrzygnąć, dla jakich par $(a, b)$ spełniających warunek (2) liczba

$ a^3 +6ab+1 $

jest sześcianem liczby całkowitej. Na mocy zależności (2) powyższa liczba jest równa $a^3 + 12a^2 - 6a + 1$ . Z nierówności

$ a^3 \leq a^3 + 6a^2-6a < a^3+12a^2-6a + 1< a^3 + 12a^2 + 48a + 64 = (a + 4)^3 $

wynika, że jeżeli liczba $a^3 + 12a^2 - 6a+ 1$ jest sześcianem liczby całkowitej, to jest ona równa $(a+ 1)^3$ , $(a + 2)^3$ lub $(a + 3)^3$ . Należy więc rozważyć trzy przypadki:

(a) $a^3 + 12a^2 - 6a + 1 = (a +1)^3$

Wówczas otrzymujemy $9a^{2}-9a=0$ , skąd $a = 0$ lub $a = 1$ .

(b) $a^{3}+12a^{2}-6a+1=(a+2)^{3}$

Stąd mamy $6a^2 - 18a - 7 = 0$ . Uzyskane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, gdyż lewa strona nie jest podzielna przez $3$ , a prawa jest.

Wtedy uzyskujemy $3a^2 - 33a - 26 = 0$ . Podobnie jak w przypadku (b), otrzymane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, gdyż lewa strona nie jest podzielna przez $3$ , a prawa jest równa $0$ .

Ostatecznie znaleźliśmy tylko jedną parę $(a,b) = (1,1)$ spełniającą warunki zadania.