LI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Punkt $X$ leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta $ABC$ , w którym kąt $C$ jest prosty. Punkty $P$ , $Q$ i $R$ są odpowiednio rzutami punktu $X$ na boki $BC$ , $CA$ i $AB$ . Udowodnić, ze równość

$ AR \cdot RB = BP \cdot PC + AQ \cdot QC $

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $X$ leży na boku $AB$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy dla zwięzłości zapisu następujące oznaczenie:

$ w = 2 \cdot (AR\cdot RB - BP\cdot PC - AQ \cdot QC). $

Należy wykazać, ze $w = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $XR = 0$ .

Na mocy twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność (rys. 1):

$ (AR + RB)^2 = (AQ+QC)^2 + (CP+PB)^2. $

Przekształcając równoważnie powyższą równość uzyskujemy po kolei:

$ \begin{split} &w = AQ^2 +QC^2+ CP^2+ PB^2- AR^2- RB^2 \\ &w = AQ^2 +PX^2+ QX^2+ PB^2- AR^2- RB^2 \\ &w = AX^2 +BX^2- AR^2- RB^2 \\ &w = 2XR^2 \end{split} $

Z ostatniej równości wynika natychmiast, ze $w = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $XR= 0$ .