LI OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ i dowolnej liczby $t\in(\frac{1}{2},1)$ istnieją takie liczby $a,b \in (1999,2000)$ , że

$ \frac{1}{2}a^{n}+\frac{1}{2}b^{n}<(ta+(1-t)b)^{n}. $

Rozwiązanie

Niech $c = 3999/2$ . Liczb $a$ , $b$ szukamy w postaci $a = c+x$ , $b = c-x$ , gdzie $x \in (0, \frac{1}{2})$ . Wówczas

$ \begin{split} (ta+(1-t)b)^{n}&- \frac{1}{2}a^{n}-\frac{1}{2}b^{n}=\\ &=(ct+tx+(1-t)c-(1-t)x)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n}=\\ &=(c+(2t-1)x)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n}=\\ &=(c+sx)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n},\\ \end{split} $

gdzie $s = 2t - 1 > 0$ . Po rozpisaniu ze wzoru dwumianowego Newtona ostatnie wyrażenie przyjmuje postać

$ (1) \qquad w(x) = sx + x^2p(x) , $

gdzie $p(x)$ jest pewnym wielomianem.

Chcemy wykazać, że dla pewnej liczby $y \in (0,\frac{1}{2})$ , liczba $w(y)$ jest dodatnia. Z równości (1) wynika, że

$ \lim_{x\to 0} \frac{w(x)}{x}=s>0. $

Zatem istnieje taka liczba $y \in (0,\frac{1}{2})$ , że wyrażenie $w(y)/y$ , a co za tym idzie również wyrażenie $w(y)$ , ma wartość dodatnią. To zaś kończy dowód.