LI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Dane są takie liczby całkowite dodatnie $m$ i $n$ , że $mn | m^2 + n^2 + m$ . Wykazać, że $m$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Z drugiej strony, $m | m^2 + n^2 + m$ , skąd uzyskujemy podzielność $m|n^2$ . Zatem $m$ jest wspólnym dzielnikiem liczb $n^2$ i $m^2$ . To oznacza, że największy wspólny dzielnik liczb $m^2$ i $n^2$ , który jest równy $d^2$ , jest podzielny przez $m$ . Wobec wyżej udowodnionej podzielności $d^2 | m$ otrzymujemy $m = d^2$ .