LI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ . Niech $\omega$ będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt $O$ , zaś $A'$ , $B'$ , $C'$ - rzutami punktów $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na płaszczyznę $\omega$ . Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia

$ (1) \quad (OA')^2 + (OB')^2 + (OC')^2 $

dla wszystkich płaszczyzn $\omega$ .

Rozwiązanie

Wykażemy, że wartość wyrażenia (1) jest równa $2$ , niezależnie od wyboru płaszczyzny $\omega$ .

Niech $\omega$ będzie dowolną płaszczyzną przechodzącą przez punkt $O$ , zaś $\pi$ płaszczyzną zawierającą punkty $O$ , $A$ , $B$ . Oznaczmy przez $\ell$ wspólną prostą płaszczyzn $\pi$ i $\omega$ . Niech $X$ , $Y$ będą rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $A$ , $B$ na prostą $\ell$ . Wówczas, niezależnie od położenia punktów $A$ , $B$ względem prostej $\ell$ (rys. 1 i 2),