LI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ . Okręgi opisane na trójkątach $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ przecinają się w punkcie $P$ . Udowodnić, że jeżeli

$ \frac{PD}{PE} = \frac{BD}{AE},\ \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{BF},\ \frac{PF}{PD} = \frac{AF}{CD}, $

to $AD$ , $BE$ , $CF$ są wysokościami trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy następujące

Twierdzenie

Wysokości $AD$ , $BE$ , $CF$ trójkąta $ABC$ przecinają się w punkcie $H$ . Punkty $K$ , $L$ , $M$ są odpowiednio środkami boków $BC$ , $CA$ , $AB$ . Punkty $X$ , $Y$ , $Z$ są odpowiednio środkami odcinków $AH$ , $BH$ , $CH$ . Wówczas następujące punkty: $D$ , $E$ , $F$ , $K$ , $L$ , $M$ , $X$ , $Y$ , $Z$ leżą na jednym okręgu (rys. 1).

Okrąg ten nazywa się okręgiem dziewięciu punktów trójkąta $ABC$ .

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta ostrokątnego $ABC$ przecina obwód tego trójkąta po raz drugi w punktach $D$ , $E$ , $F$ , to punkty $D$ , $E$ , $F$ są spodkami wysokości trójkąta $ABC$ .

Przystępujemy do rozwiązania zadania.

Na półprostej $FA^\to$ odkładamy taki punkt $Q$ , aby zachodziła następująca równość kątów: $\measuredangle FPQ = \measuredangle EPC$ (rys. 2).

Punkty $A$ , $E$ , $P$ , $F$ leżą na jednym okręgu, więc $\measuredangle QFP = \measuredangle CEP$ . Z powyższych równości wynika, że trójkąty $PQF$ oraz $PCE$ są podobne. Zatem

$ \frac{PF}{PE}=\frac{PQ}{PC}. $

Ponadto $\measuredangle FPE = \measuredangle QPC$ . Z dwóch ostatnich równości wynika, że trójkąty $PFE$ oraz $PQC$ są podobne. Z zależności w treści zadania oraz z podobieństwa trójkątów $PQF$ , $PCE$ otrzymujemy

$ \frac{BF}{CE}=\frac{PF}{PE}=\frac{QF}{CE}, $

skąd $BF = QF$ . Zatem punkt $F$ jest środkiem odcinka $BQ$ .

Niech $K$ będzie środkiem boku $BC$ . Wówczas proste $KF$ oraz $CQ$ są równoległe. Zatem kąt $EFK$ jest równy kątowi pomiędzy prostymi $FE$ oraz $CQ$ . Natomiast na mocy podobieństwa trójkątów $PFE$ oraz $PQC$ , kąt pomiędzy prostymi $FE$ oraz $CQ$ jest równy kątowi pomiędzy odcinkami $PE$ i $PC$ , czyli kątowi $EPC$ . Punkty $E$ , $P$ , $D$ , $C$ leżą na jednym okręgu, skąd wynika równość $\measuredangle EPC = \measuredangle EDC$ .

Z powyższych rozważań uzyskujemy zależność $\measuredangle EFK = \measuredangle EDC$ . Dowodzi ona, że punkty $D$ , $K$ , $E$ , $F$ leżą na jednym okręgu, niezależnie od tego, z której strony punktu $K$ leży punkt $D$ . Jeżeli $K = D$ , to okrąg opisany na trójkącie $DEF$ jest styczny do prostej $BC$ w punkcie $D$ .

Innymi słowy: okrąg opisany na trójkącie $DEF$ przechodzi przez punkt $D$ oraz środek boku $BC$ i nigdzie indziej nie przecina prostej $BC$ . Analogicznie dowodzimy, że ten sam okrąg przechodzi przez środki pozostałych boków. Poza punktami $D$ , $E$ , $F$ oraz środkami boków trójkąta $ABC$ okrąg ten nie ma punktów wspólnych z obwodem trójkąta $ABC$ .

Wykazaliśmy więc, że okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta $ABC$ przecina jego obwód po raz drugi w punktach $D$ , $E$ , $F$ . To zaś dowodzi, że proste $AD$ , $BE$ , $CF$ są wysokościami trójkąta $ABC$ .