LI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Rozstrzygnąć, czy każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w postaci

$<br /> \frac{a^2+b^3}{c^5+d^7},<br />$

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $p$ , $q$ zachodzą następujące równości:

$<br /> \frac{p}{q}=\frac{p}{q}\cdot\frac{p^{5}q^{4}+p^{14}q^{6}}{p^{5}q^{4}+p^{14}q^{6}}=\frac{p^{6}q^{4}+p^{15}q^{6}}{p^{5}q^{5}+p^{14}q^{7}}=\frac{(p^{3}q^{2})^{2}+(p^{5}q^{2})^{3}}{(pq)^{5}+(p^{2}q)^{7}}.<br />$

Zatem każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w żądanej postaci.