LX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \cdots , a_n$ $(n \geqslant 2)$ spełniają warunek
$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$ . Udowodnić nierówność

$ a_1a_2 \cdots a_{n-1} +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_n -a_{n-1}) \geqslant 2a_2a_3 \cdots a_n. $

Rozwiązanie

Zastosujemy indukcję matematyczną ze względu na wartość liczby $n$ .

Dla $n = 2$ teza zadania jest prawdziwa, gdyż obie strony dowodzonej zależności są równe $2a_2$ .

Przechodząc do kroku indukcyjnego rozpatrzmy liczby rzeczywiste
$a_1, a_2, \cdots , a_{n+1}$ , dla których $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{n+1} >0$ .
Należy udowodnić nierówność

$ (1) \qquad a_1a_2 \cdots a_n +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_{n+1} -a_n) \geqslant 2a_2a_3 \cdots a_na_{n+1}. $

Wprowadźmy oznaczenia

$ t = a_1 -a_2, \quad K = a_2a_3 \cdots a_n, \quad L = (2a_3 -a_2) \cdots (2a_{n+1} -a_n); $

wówczas lewą stronę zależności (1) możemy zapisać w postaci

$ (2) a_1K +(2a_2 -a_1)L =(a_2 +t)K +(a_2 -t)L = a_2(K +L)+t(K -L). $

Stosując założenie indukcyjne do $n$ liczb $a_2 \geqslant a_3 \geqslant \cdots \geqslant a_{n+1} \geqslant 0$
uzyskujemy

$ \begin{split} K+L &= a_2a_3 \cdots a_n +(2a_3 -a_2)(2a_4 -a_3) \cdots (2a_{n+1} -a_n) \geqslant \geqslant 2a_3 \cdots a_na_{n+1}. \end{split} $

Ponadto dla dowolnych liczb rzeczywistych $x\geqslant y>0$ prawdziwa jest podwójna nierówność
$-x \leqslant -x+2(x-y)= x-2y<x$ , skąd $|x-2y|\leqslant x$ i w konsekwencji

$ |L| = |2a_3 -a_2|\cdot |2a_4 -a_3|\cdot \cdots \cdot|2a_{n+1} -a_n|\leqslant a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_n = K. $

Oznacza to, że liczba $K - L$ jest nieujemna. Liczba $t = a_1 - a_2$ jest również nieujemna, zatem
kontynuując zależność (2) i wykorzystując (3) dostajemy

$ a_2(K +L)+t(K -L) \geqslant a_2 \cdot 2a_3 \cdots a_na_{n+1}. $

Otrzymaliśmy prawą stronę nierówności (1), co kończy dowód indukcyjny.