LI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Dwusieczna kąta $BAC$ trójkąta $ABC$ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $D$ różnym od $A$ . Punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $B$ i $C$ na prostą $AD$ . Dowieść, że

$<br /> AD \geq BK + CL.<br />$

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $o$ okrąg opisany na trójkącie $ABC$ . Z równości kątów $BAD$ i $DAC$ wynika, że długości łuków $BD$ i $DC$ okręgu $o$ są równe (długość łuku $XY$ jest mierzona od punktu $X$ do punktu $Y$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Niech $E$ będzie punktem symetrycznym do punktu $D$ względem symetralnej boku $AB$ , zaś niech $N$ będzie rzutem prostokątnym punktu $E$ na prostą $AD$ (rys. 1 i 2). Wówczas $AD = BE$ . Ponadto długości łuków $DC$ i $EA$ są równe, co oznacza, że $EN = CL$ .

Punkty $B$ i $E$ leżą po dwóch różnych stronach prostej $AD$ . Zatem długość odcinka $BE$ jest nie mniejsza niż suma odległości punktów $B$ i $E$ od prostej $AD$ . Innymi słowy $BE\geq BK + EN$ , czyli $AD \geq BK + CL$ .