LI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , w którym $AB \neq AC$ . Proste $BI$ i $CI$ przecinają boki $AC$ i $AB$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Wyznaczyć wszystkie miary kąta $BAC$ , dla których może zachodzić równość $DI = EI$ .

Rozwiązanie

Wykażemy, że jedyną wartością przyjmowaną przez kąt $BAC$ jest $60^\circ$ .

Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów $ADI$ i $AEI$ otrzymujemy $\sin \measuredangle AEI = \sin \measuredangle ADI$ . Stąd

$ \measuredangle AEI = \measuredangle ADI \quad \textrm{lub} \quad \measuredangle AEI+ \measuredangle ADI = 180^\circ. $

Przypuśćmy najpierw, że zachodzi równość $\measuredangle AEI = \measuredangle ADI$ (rys. 1). Wtedy również $\measuredangle AIE = \measuredangle AID$ , co oznacza, że trójkąty $AEI$ oraz $ADI$ są przystające (cecha kąt-bok-kąt). Zatem $AD = AE$ . To dowodzi, że przystające są także trójkąty $ADB$ i $AEC$ (cecha kąt-bok-kąt). Stąd uzyskujemy równość $AB = AC$ , co przeczy założeniom poczynionym w treści zadania.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, w którym $\measuredangle AEI+ \measuredangle ADI = 180^\circ$ (rys. 2). Wtedy punkty $A$ , $E$ , $I$ , $D$ leżą na jednym okręgu. Zatem

$ \measuredangle BAC = \measuredangle DIC = \measuredangle IBC+ \measuredangle ICB = \frac{1}{2} \measuredangle ABC+ \frac{1}{2} \measuredangle BCA. $

Stąd otrzymujemy

$ 180^\circ = \measuredangle BAC + \measuredangle ABC + \measuredangle BCA= \measuredangle BAC + 2\measuredangle BAC = 3 \measuredangle BAC, $

czyli $\measuredangle BAC = 60^\circ$ .

Do zakończenia rozwiązania pozostało wykazać, że istnieje trójkąt $ABC$ , w którym $AB\neq AC$ , $\measuredangle BAC = 60^\circ$ oraz $DI = EI$ . Wykażemy więcej: w każdym trójkącie $ABC$ o kącie $BAC$ równym $60^\circ$ zachodzi równość $DI = EI$ .

Jeżeli $\measuredangle BAC = 60^\circ$ , to

$ \measuredangle DIC =\frac{1}{2} \measuredangle ABC + \frac{1}{2} \measuredangle BCA = 90^\circ - \frac{1}{2} \measuredangle BAC = 60^\circ = \measuredangle BAC. $

Na czworokącie $AEID$ można więc opisać okrąg. Ponieważ $AI$ jest dwusieczną kąta $EAD$ , więc $DI = EI$ .