Niech 
oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja 
, że dla każdego 
zachodzi równość 
.
Taka funkcja istnieje. Oto przykład.
Niech 
będzie zbiorem tych liczb całkowitych dodatnich, w których rozkładzie na czynniki pierwsze „trójka" występuje nieparzystą liczbę razy. Funkcję 
definiujemy wzorem:
![\[<br />
f(n)=\left\{\begin{array}{ll}<br />
\frac{1}{3}n&\textrm{dla}\quad n\in A,\\<br />
6n&\textrm{dla}\quad n\in \mathbb{N}\setminus A.<br />
\end{array}\right.<br />
\]](/files/tex/61edebbc79c9281e10ef9043e1882ee58b07f40a.png) |
Wówczas, jeśli 
, to 
, skąd
![\[<br />
f(f(n)) = f(\frac{1}{3}n) = 2n\ \textrm{dla}\ n\in A.<br />
\]](/files/tex/be33d29b2f3b3a25418048ed55429f8ffcf1a622.png) |
Podobnie, jeżeli 
, to 
, co daje
![\[<br />
f(f(n)) = f(6n) = 2n \quad \textrm{dla}\ n \in \mathbb{N}\setminus A.<br />
\]](/files/tex/ab2323042005fd888732187b6efb128e35c2ff15.png) |