LI OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

Wielomian $w(x)$ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych $x$ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $w(x)$ jest kwadratem pewnego wielomianu.

Rozwiązanie

Niech $w(x) = ax^2 + bx + c$ . Wprowadźmy oznaczenie: $k_n = \sqrt{w(n)}$ dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ . Wówczas $k_n$ może być zerem dla co najwyżej dwóch wartości $n$ . Dla pozostałych $n$ mamy

$ k_{n+1}-k_{n}=\frac{k_{n+1}^{2}-k_{n}^{2}}{k_{n+1}+k_{n}}=\frac{(2n+1)a+b}{\sqrt{a(n+1)^{2}+b(n+1)+c}+\sqrt{an^{2}+bn+c}}. $

Dzieląc licznik i mianownik otrzymanego ułamka przez $n$ i przechodząc z $n$ do nieskończoności widzimy, że ciąg $(k_{n+1} - k_n)$ jest zbieżny i jego granica wynosi $\sqrt{a}$ . Ponieważ wyrazy ciągu $(k_{n+1} - k_n)$ są całkowite, więc granica tego ciągu, liczba $\sqrt{a}$ , jest też całkowita. Ponadto istnieje taka liczba naturalna $m$ , że

$ (1) \qquad k_{n+1} - k_n = \sqrt{a}\quad \textrm{dla}\ n\geq m. $

Niech $d = k_m - m\sqrt{a}$ . Ze związku (1) wynika, że

$ (2) \qquad k_n = n\sqrt{a}+d \quad \textrm{dla}\ n\geq m. $

Przyjmijmy: $p(x) = (x\sqrt{a} + d)^2$ . Na mocy definicji liczb $k_n$ oraz równości (2) uzyskujemy równość $p(n) = w(n)$ dla $n \geq m$ . To oznacza, że $p(x) = w(x)$ , skąd

$ w(x)=(x\sqrt{a}+d)^2. $