LI OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

III

Dana jest liczba całkowita $n \geq 2$ .

Wyznaczyć liczbę rozwiązań $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ układu równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\ x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\ x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\ \vdots\\ x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\ x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n} \end{array}\right. $

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

Rozwiązanie

Odpowiedź: $2^n$ .

Z pierwszego równania otrzymujemy

$ x_1(x_1 -4) = x_1^2 - 4x_1 = - x_2 \leq 0, $

skąd wynika, że $x_1 \leq 4$ . Istnieje więc dokładnie jedna liczba $\alpha \in \langle 0,\pi/2\rangle$ , spełniająca zależność $x_1 =4\sin^2 \alpha$ .

Wówczas $x_{2}=x_{1}(4-x_{1})=4\sin^{2}\alpha\cdot 4\cos^{2}\alpha=4\sin^{2}2\alpha$ . Rozumując analogicznie dostajemy

$ x_{k}=4\sin^{2}(2^{k-1}\alpha)\ (k=3,4, \ldots,n) $

oraz $x_{1}=4\sin^{2}(2^{n}\alpha)$ .

Liczba rozwiązań danego układu równań w liczbach nieujemnych jest więc równa liczbie rozwiązań równania

$ \sin^2 \alpha = \sin^2 (2^n\alpha) $

w liczbach rzeczywistych $\alpha \in \langle 0,\pi/2\rangle$ . Ponieważ równość $\sin\beta=\pm\sin\gamma$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy któraś z liczb $\beta+\gamma$ , $\beta-\gamma$ jest całkowitą wielokrotnością $\pi$ , więc jedna z liczb $(2^n+1)\alpha$ , $(2^n-1)\alpha$ musi być całkowitą wielokrotnością $\pi$ . Stąd wynika, że $\alpha$ jest jedną z liczb:

$ 0,\ \frac{k\pi}{2^{n}+1},\ \frac{\ell\pi}{2^{n}-1},\ \text{gdzie}\ k\ \in\{1,2,\ldots,2^{n-1}\},\ \ell\in\{1,2, \ldots,2^{n-1}-1\}. $

Ponieważ największy wspólny dzielnik liczb $2^n + 1$ i $2^n - 1$ jest równy $1$ , więc wyżej wypisane możliwe wartości $\alpha$ są różne. Zatem istnieje dokładnie $2^n$ ciągów liczb nieujemnych $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ spełniających dany układ równań.