LI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

III

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , przy czym $\measuredangle PAB = \measuredangle PBC$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC =180^\circ. $

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $AMC$ lub na odcinku $MC$ .

Niech $Q \neq C$ będzie punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie $BCP$ z prostą $CM$ (rys. 1 i 2). Ponieważ $\measuredangle PAM = \measuredangle PBC = \measuredangle PQC$ , więc punkty $A$ , $P$ , $M$ , $Q$ leżą na jednym okręgu. Ponadto

$ (1) \qquad \measuredangle BPC = \measuredangle BQC = \measuredangle AQC. $

Jeżeli punkt $Q$ znajduje się na zewnątrz trójkąta $ABC$ (rys. 1) lub na odcinku $AB$ , to na mocy zależności (1) otrzymujemy

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC = \measuredangle APM + \measuredangle AQC = 180^\circ. $

Jeżeli natomiast punkt $Q$ znajduje się wewnątrz trójkąta $ABC$ (rys. 2), to korzystając raz jeszcze z równości (1) uzyskujemy

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC = \measuredangle AQM + \measuredangle AQC = 180^\circ. $

Załóżmy teraz, że punkt $P$ znajduje się wewnątrz trójkąta $BCM$ . Ponieważ $\measuredangle PBA = \measuredangle PAC$ , więc przeprowadzając rozumowanie analogiczne do powyższego otrzymujemy równość $\measuredangle BPM + \measuredangle APC = 180^\circ$ . Stąd

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC = 180^\circ, $

co kończy

Rozwiązanie

zadania.