LI OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LI OM, 1999-2000

Etap:

III

Stopień wielomianu $P(x)$ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $x$

$ P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1. $

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość

$ P(x) = x. $

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwe są zależności

$ (P (-x))^2 = P (x^2 - 1) +1 = (P (x))^2. $

Stąd wynika, że dla każdego $x$ zachodzi jedna z równości: $P(-x) = P(x)$ lub P $(-x) = -P (x)$ .

Przypuśćmy, że dla nieskończenie wielu $x$ zachodzi równość $P(-x) = P(x)$ . Wówczas równość ta musi być prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ , co przeczy założeniu, że stopień wielomianu $P$ jest liczbą nieparzystą.

Zatem dla nieskończenie wielu $x$ zachodzi równość $P(-x) = -P(x)$ , skąd wynika, że równość ta jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ .

Dowolną liczbę rzeczywistą $x \geq -1$ możemy zapisać w postaci $x = y^2 - 1$ , dla pewnej liczby rzeczywistej $y$ . Stąd

$ (1) \qquad P (x) = P (y^2 - 1) = (P (y))^2 - 1 \geq - 1. $

Określamy rekurencyjnie ciąg $(x_n)$ wzorami:

$ x_1 = 1\quad \textrm{oraz}\quad x_n = \sqrt{x_{n-1} + 1}\quad \textrm{dla}\quad n \geq 2. $

Udowodnimy indukcyjnie, że

$ (2)\qquad P(x_n)= x_n\ \textrm{dla}\ n \in\mathrm{N}. $

Z zależności $P(-x) =-P(x)$ otrzymujemy $P(0) =0$ . Kładąc $x=0$ do danej w treści zadania tożsamości otrzymujemy $P(-1) = -1$ , skąd $P(1) = 1$ . To dowodzi równości (2) dla $n=1$ .

Ze związku $P(x_{n-1}) = x_{n-1}$ wynika, że

$ (P(x_n))^2 = P(x_n^2 - 1) + 1 = P(x_{n-1}) + 1 = x_{n-1} + 1 = x_n^2. $

Ponieważ $x_n > 1$ dla $n \geq 2$ , więc nierówność (1) wyklucza prawdziwość równości $P(x_n) = -x_n$ . Zatem $P(x_n) = x_n$ , co kończy dowód zależności (2).

Ciąg $(x_n)$ jest rosnący, więc równość $P(x) = x$ zachodzi dla nieskończenie wielu $x$ . Z tego zaś wynika, że $P(x) = x$ dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ .