LX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że $a>b> 1$ oraz liczba $ab +1$ jest podzielna przez $a+b$ ,
zaś liczba $ab-1$ jest podzielna przez $a-b$ .

Wykazać, że $a<b\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

$<br /> (a+b)b-(ab+1) = b^2 -1\quad \text{oraz} \quad (ab-1)-b(a-b)= b^2 -1.<br />$

Zatem z danych w treści zadania podzielności wynika, że liczba $b^2 - 1$ jest podzielna przez
$a+b$ i przez $a-b$ .

Liczby $a$ i $b$ są względnie pierwsze. Jeżeli bowiem $d$ jest ich wspólnym dzielnikiem dodatnim,
to liczby $a + b$ i $ab$ są podzielne przez $d$ ; z drugiej strony, liczba $ab+1$ jest podzielna przez liczbę
$a+b$ podzielną przez $d$ . Zatem liczby $ab$ i $ab+1$ są podzielne przez $d$ , skąd wynika, że $d = 1$ .

Niech $e$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $a+b$ i $a-b$ . Wówczas $e$ jest dzielnikiem sumy
i różnicy tych dwóch liczb, równych odpowiednio $2a$ i $2b$ . Skoro liczby $a$ i $b$ są względnie pierwsze,
otrzymujemy $e = 1$ lub $e = 2$ . Stąd wniosek, że jeśli liczba całkowita jest podzielna przez
$a + b$ i $a - b$ , to dwukrotność tej liczby jest podzielna przez $(a+b)(a-b)= a^2 - b^2$ .

Jak zauważyliśmy wcześniej, liczba $b^2-1$ jest podzielna przez $a+b$ i przez $a-b$ . Oznacza to,
że liczba $2(b^2-1)$ jest podzielna przez $a^2-b^2$ . Ponadto $b>1$ , a więc liczba $2(b^2 -1)$ jest
dodatnia i wobec tego jest nie mniejsza niż $a^2 -b^2$ . Zapisując nierówność
$2(b^2 - 1) \geqslant a^2 -b^2$ w równoważnej postaci $a^2 \leqslant 3b^2 - 2$
widzimy, że $a<3b^2$ , co jest równoznaczne z tezą zadania.