L OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Dowieść, że wśród liczb postaci $50^n + (50n + 1)^{50}$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

Rozwiązanie

I sposób:

Jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $50^n$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ . Jeśli ponadto $n$ dzieli się przez $3$ , to $(50n+1)^{50}$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ . Stąd wynika, że liczba $50^n + (50n+1)^{50}$ jest podzielna przez $3$ dla liczb $n$ postaci $6k + 3$ .