L OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ , $d$ zachodzi nierówność

$<br /> (a + b + c + d)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 6ab .<br />$

Rozwiązanie

I sposób:

Tezę dostajemy natychmiast z następującej równości:

$<br /> 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab-(a+b+c+d)^2=\frac{(2a+2b-c-d)^2}{2}+\frac{3(c-d)^2}{2}.<br />$

II sposób:

Na mocy nierówności pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną otrzymujemy $3((a + b)^2+ c^2+ d^2) \geq ((a+b) + c+d)^2$ , czyli nierówność, którą należało udowodnić.