L OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

W trójkącie równoramiennym $ABC$ kąt $BAC$ jest prosty. Punkt $D$ leży na boku $BC$ , przy czym $BD = 2\cdot CD$ . Punkt $E$ jest rzutem prostokątnym punktu $B$ na prostą $AD$ . Wyznaczyć miarę kąta $CED$ .

Rozwiązanie

Uzupełnijmy trójkąt $ABC$ do kwadratu $ABFC$ . Załóżmy, że prosta $AD$ przecina bok $CF$ w punkcie $P$ , zaś prosta $BE$ przecina bok $AC$ w punkcie $Q$ . Ponieważ

$<br /> \frac{CP}{AB}=\frac{CD}{DB}=\frac{1}{2},<br />$

więc $CP= \frac{1}{2} CF$ . Wykorzystując prostopadłość prostych $AP$ i $BQ$ oraz powyższą równość dostajemy $CQ= \frac{1}{2} AC$ , i w konsekwencji $CP=CQ$ . Punkty $C$ , $Q$ , $E$ , $P$ leżą na jednym okręgu, skąd $\measuredangle CED =\measuredangle CEP =\measuredangle CQP = 45^\circ$ .