L OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Dane są takie liczby rzeczywiste $x$ , $y$ , że liczby $x + y$ , $x^2 + y^2$ , $x^3 + y^3$ i $x^4 + y^4$ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ liczba $x^n + y^n$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Ponieważ $2xy= (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ oraz $2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (x^4 + y^4)$ , więc liczby $2xy$ i $2x^2y^2$ są całkowite. Gdyby przy tym liczba $xy$ nie była całkowita, to $2xy$ byłaby nieparzysta. Ale wówczas liczba $2x^2y^2 = (2xy)^2/2$ nie byłaby całkowita. Wniosek stąd, że liczba $xy$ jest całkowita.

Całkowitość liczby $x^n + y^n$ dowodzimy indukcyjnie korzystając z tożsamości $x^n + y^n = (x^{n-1} +y^{n-1})(x + y)-xy(x^{n-2} +y^{n-2})$ .